در این تمرین صفحه ۱۰۱ ریاضی ششم جواب آماده نمی‌گیری؛ یاد می‌گیری خودت حل کنی. اول می‌فهمیم برای ساختن یک استوانه چقدر کاغذ لازم است، چون استوانه را که باز کنی یک مستطیل و دو دایره می‌شود. بعد مساحت یک حلقه را پیدا می‌کنیم، یعنی قسمت رنگی بین دو دایره. سؤال‌های قسمت رنگی، وسایل گرد خانه و استوانهٔ کتاب را خودت حل می‌کنی؛ ما فقط راهنمایی می‌کنیم. آخر صفحه هم بستهٔ کاربرگ و آزمون فصل پنجم را معرفی کرده‌ایم تا مطمئن شوی درس را یاد گرفته‌ای.
ریاضی سخت نیست، فقط باید درست یاد گرفت.
دیدن دوره ←در آموزش صفحهٔ ۱۰۱ یاد می‌گیری
- استوانه را باز کنی و ببینی از یک مستطیل و دو دایره ساخته شده است.
- بفهمی چرا طول آن مستطیل برابر محیط دایره است.
- مساحت کاغذ لازم برای استوانه را با جمع کردن مساحت مستطیل و دو دایره پیدا کنی.
- مساحت حلقه را با کم کردن مساحت دایرهٔ کوچک از دایرهٔ بزرگ حساب کنی.
- مساحت وسایل گرد را اول حدس بزنی و بعد با اندازه‌گیری و عدد پی برابر ۳ حساب کنی.
آموزش صفحه ۱۰۱ ریاضی ششم: این صفحه دربارهٔ چیست؟
صفحهٔ ۱۰۱ ریاضی ششم دربارهٔ تمرین مساحت دایره است: مساحت قسمت‌های رنگ‌شدهٔ شکل‌ها را با جمع و تفریق مساحت‌ها پیدا می‌کنی، مساحت چیزهای گرد خانه را حدس می‌زنی و می‌سنجی، و حساب می‌کنی برای ساختن یک استوانه چند سانتی‌متر مربع کاغذ لازم است. (کتاب عدد اعشاری را با «/» می‌نویسد و ۳٫۱۴ را «۳/۱۴» چاپ می‌کند؛ همان عدد است.)
این صفحه آخرین صفحهٔ درس «مساحت دایره» از فصل پنجم ریاضی ششم است و بعد از صفحهٔ ۱۰۰ می‌آید. سه تمرین دارد: توضیح و محاسبهٔ مساحت قسمت‌های رنگ‌شده، پیدا کردن وسایل دایره‌ای خانه و کامل کردن جدول مساحت آن‌ها (با عدد پی برابر ۳)، و مساحت کاغذ لازم برای ساختن یک استوانه. درس بعدی، «خط و زاویه»، از صفحهٔ ۱۰۲ شروع می‌شود.
گام به گام صفحه ۱۰۱ ریاضی ششم: چقدر کاغذ برای ساختن استوانه لازم است؟
کتاب می‌پرسد برای ساختن یک استوانه چند سانتی‌متر مربع کاغذ لازم است. اندازه‌های استوانهٔ کتاب را خودت از روی کتاب می‌خوانی؛ ما روش را با استوانه‌ای دیگر نشان می‌دهیم: استوانه‌ای به شعاع ۳ سانتی‌متر و ارتفاع ۱۲ سانتی‌متر که هر دو سرش بسته است، مثل یک قوطی.
قدم ۱: استوانه را باز کن
اگر استوانه را باز کنی، سه تکه می‌شود: یک مستطیل که دور استوانه را پوشانده و دو دایره که سر و ته آن‌اند. پس کاغذ لازم برابر است با مساحت مستطیل به‌اضافهٔ مساحت دو دایره.
قدم ۲: طول مستطیل را پیدا کن
ارتفاع مستطیل همان ارتفاع استوانه است: ۱۲ سانتی‌متر. اما طولش چقدر است؟ مستطیل یک دور کامل دور استوانه می‌پیچد؛ لبهٔ بالای آن دقیقاً دور لبهٔ دایره می‌چرخد. پس طول مستطیل برابر محیط دایره است. قطر دایره ۳ × ۲ = ۶ است و محیط ۶ × ۳٫۱۴ = ۱۸٫۸۴ سانتی‌متر.
قدم ۳: مساحت مستطیل
طول ضرب در عرض: ۱۸٫۸۴ × ۱۲ = ۲۲۶٫۰۸ سانتی‌متر مربع.
قدم ۴: مساحت دو دایره
یک دایره: ۳ × ۳ × ۳٫۱۴ = ۲۸٫۲۶. دو دایره: ۲۸٫۲۶ × ۲ = ۵۶٫۵۲ سانتی‌متر مربع.
قدم ۵: همه را جمع کن
۲۲۶٫۰۸ + ۵۶٫۵۲ = ۲۸۲٫۶ سانتی‌متر مربع.
جواب مثال ما
- کاغذ لازم برای استوانهٔ بسته: ۲۸۲٫۶ سانتی‌متر مربع
قاعدهٔ کلی: مساحت کاغذ استوانه برابر است با مساحت مستطیل (محیط دایره ضرب در ارتفاع) به‌اضافهٔ مساحت دو دایره. اگر استوانه یک سر باز باشد، مثل لیوان، فقط یک دایره لازم است: ۲۲۶٫۰۸ + ۲۸٫۲۶ = ۲۵۴٫۳۴ سانتی‌متر مربع. اگر هر دو سرش باز باشد، مثل لولهٔ کاغذی، فقط همان مستطیل می‌ماند.
نکتهٔ معلم
اشتباه رایج: به‌جای محیط، شعاع یا قطر را طول مستطیل می‌گیرند (مثلاً ۶ × ۱۲ = ۷۲). ولی مستطیل باید یک دور کامل دور دایره بپیچد و یک دور کامل ۶ × ۳٫۱۴ = ۱۸٫۸۴ است، نه ۶. قبل از ضرب کردن از خودت بپرس: «این ضلع دور چه چیزی می‌پیچد؟»
سؤال‌های این صفحه گیجت کرد؟
دورهٔ خط‌به‌خط ریاضی ششم، هر صفحه را آن‌قدر ساده توضیح می‌دهد که به جواب آماده نیازی نداری.
دیدن دورهٔ ریاضی ششم ←مساحت قسمت رنگی بین دو دایره (حلقه)
کتاب می‌خواهد اول روش محاسبهٔ مساحت قسمت‌های رنگ‌شده را توضیح بدهی و بعد آن را به دست بیاوری؛ یعنی اول با یک جمله بنویسی چه چیزی را از چه چیزی کم یا با چه چیزی جمع می‌کنی. روش را با یک حلقه نشان می‌دهیم: دایره‌ای به شعاع ۷ سانتی‌متر که از وسطش دایره‌ای به شعاع ۵ سانتی‌متر برداشته‌اند.
قدم ۱: روش را بنویس
قسمت رنگی یک دایرهٔ بزرگ است که تکه‌ای گرد از وسطش برداشته‌اند؛ پس مساحت حلقه برابر است با مساحت دایرهٔ بزرگ منهای مساحت دایرهٔ کوچک. این همان قاعدهٔ «بریده‌شده یعنی کم کن» است که در صفحهٔ ۱۰۰ دیدی.
قدم ۲: مساحت دایرهٔ بزرگ
۷ × ۷ × ۳٫۱۴ = ۱۵۳٫۸۶ سانتی‌متر مربع.
قدم ۳: مساحت دایرهٔ کوچک
۵ × ۵ × ۳٫۱۴ = ۷۸٫۵ سانتی‌متر مربع.
قدم ۴: کم کن
۱۵۳٫۸۶ − ۷۸٫۵ = ۷۵٫۳۶ سانتی‌متر مربع.
راه کوتاه‌تر: چون هر دو مساحت در ۳٫۱۴ ضرب شده‌اند، می‌توانی اول ۷ × ۷ = ۴۹ و ۵ × ۵ = ۲۵ را حساب کنی، بعد ۴۹ − ۲۵ = ۲۴، و فقط یک بار در ۳٫۱۴ ضرب کنی: ۲۴ × ۳٫۱۴ = ۷۵٫۳۶. همان جواب است، با یک ضرب اعشاری کمتر.
جواب مثال ما
- مساحت حلقه: ۷۵٫۳۶ سانتی‌متر مربع
نکتهٔ معلم
اشتباه رایج: اول شعاع‌ها را از هم کم می‌کنند (۷ − ۵ = ۲) و بعد مساحت دایره‌ای به شعاع ۲ را حساب می‌کنند: ۲ × ۲ × ۳٫۱۴ = ۱۲٫۵۶. ولی ۲ پهنای حلقه است، نه شعاع دایره‌ای که قسمت رنگی را بسازد. مساحت‌ها را اول جدا حساب کن و بعد کم کن.
تمرین صفحه ۱۰۱ ریاضی ششم: بقیهٔ سؤال‌ها را خودت حل کن
حالا نوبت توست. ما جواب نهایی را نمی‌گوییم؛ فقط هر جا لازم شد راهنمایی می‌کنیم.
مساحت قسمت‌های رنگ‌شده
راهنمایی (بدون جواب نهایی)
اول شکل را نگاه کن: قسمت رنگی از چند تکه ساخته شده که باید جمع شوند، یا از شکلی بزرگ‌تر چیزی برداشته‌اند که باید کم شود؟ (قاعده‌های «جمع کنم یا کم کنم؟» در صفحهٔ ۱۰۰ و مثال حلقهٔ همین صفحه کمکت می‌کنند.) بعد روش را با یک جمله بنویس، مثلاً «مساحت قسمت رنگی برابر است با مساحت … منهای مساحت …». شعاع هر دایره را از اندازه‌های شکل پیدا کن؛ اگر قطر داده شده، نصفش کن. بعد هر مساحت را جدا حساب کن و در جمله بگذار. اگر قسمت‌های رنگی هم‌اندازه‌اند، یکی را حساب کن و جوابش را در تعدادشان ضرب کن.
وسایل گردِ خانه: حدس و اندازه‌گیری
راهنمایی (بدون جواب نهایی)
دنبال چیزهای گرد بگرد: ته لیوان، بشقاب، در قابلمه، سکه، سی‌دی. اول بدون ابزار حدس بزن مساحت سطح گردشان در کدام ستون جدول می‌افتد (کمتر از ۱۰۰، بین ۱۰۰ و ۵۰۰، یا بیشتر از ۵۰۰) و حدست را بنویس. بعد با خط‌کش قطر را در پهن‌ترین جا اندازه بگیر، نصفش کن تا شعاع شود و مساحت را حساب کن. کتاب در این سؤال می‌گوید عدد پی را ۳ بگیر؛ در بخش «مساحت دایره با عدد پی برابر ۳» پایین همین صفحه راهش را ببین. آخر کار نگاه کن حدست در ستون درست بود یا نه.
استوانهٔ کتاب
راهنمایی (بدون جواب نهایی)
اول از روی شکل کتاب بخوان کدام اندازه‌ها داده شده: ارتفاع استوانه، و شعاع یا قطر دایره؟ اگر قطر داده شده، اول شعاع را پیدا کن. بعد مثل مثال بالا کار کن: طول مستطیل را از محیط دایره (قطر ضرب در ۳٫۱۴) به دست بیاور، مساحت مستطیل و مساحت دایره‌ها را جدا حساب کن و جمع بزن. تعداد دایره‌ها را از شکل بشمار: دو دایره برای استوانهٔ بسته، یکی برای استوانه‌ای که یک سرش باز است. اگر کتاب یا معلمت برای عدد پی عدد دیگری گفت، همان را بگذار.
مساحت دایره با عدد پی برابر ۳
کتاب در سؤال وسایل گرد از تو می‌خواهد عدد پی را ۳ بگیری. دلیلش این است که اندازه‌ای که با خط‌کش می‌خوانی خودش تقریبی است و ضرب در ۳ را راحت در ذهن انجام می‌دهی. جوابی که با ۳ می‌گیری کمی کمتر از جواب با ۳٫۱۴ است. پس در این سؤال با ۳ حساب کن و هر جا کتاب چیزی نگفته، مثل استوانه و قسمت‌های رنگی، با ۳٫۱۴.
قاعده: مساحت دایره با عدد پی برابر ۳ می‌شود شعاع ضرب در شعاع ضرب در ۳. این سه مثال را ببین:
| شعاع دایره (سانتی‌متر) | مساحت با پی برابر ۳ | ستون جدول |
|---|---|---|
| ۳ | ۳ × ۳ × ۳ = ۲۷ | کمتر از ۱۰۰ |
| ۸ | ۸ × ۸ × ۳ = ۱۹۲ | بین ۱۰۰ و ۵۰۰ |
| ۱۵ | ۱۵ × ۱۵ × ۳ = ۶۷۵ | بیشتر از ۵۰۰ |
اگر شعاع را عدد طبیعی بگیری، مرز ستون‌ها این‌هاست:
- شعاع ۱ تا ۵: مساحت کمتر از ۱۰۰ می‌شود، مثلاً ۵ × ۵ × ۳ = ۷۵.
- شعاع ۶ تا ۱۲: مساحت بین ۱۰۰ و ۵۰۰ می‌شود، مثلاً ۶ × ۶ × ۳ = ۱۰۸ و ۱۲ × ۱۲ × ۳ = ۴۳۲.
- شعاع ۱۳ و بیشتر: مساحت بیشتر از ۵۰۰ می‌شود، مثلاً ۱۳ × ۱۳ × ۳ = ۵۰۷.
اگر شعاعی که اندازه گرفته‌ای اعشاری است، باید خودت حساب کنی؛ مثلاً ۵٫۵ × ۵٫۵ × ۳ = ۹۰٫۷۵ است، یعنی باز هم کمتر از ۱۰۰.
کاربرگ و آزمون صفحه ۱۰۱ ریاضی ششم
بعد از تمرین صفحه ۱۰۱ ریاضی ششم، با کاربرگ و آزمون مطمئن شو که درس را یاد گرفته‌ای. همهٔ سؤال‌ها تازه‌اند، نه کپی کتاب، و از آسان به دشوار چیده شده‌اند. کاربرگ صفحه ۱۰۱ ریاضی ششم داخل بستهٔ کامل فصل پنجم است؛ آزمون درس «مساحت دایره» و آزمون فصل هم در همین بسته‌اند.
قبل از امتحان، با آزمون واقعی خودت را بسنج
بستهٔ کاربرگ و آزمون فصل پنجم ریاضی ششم: ۱۸ کاربرگ سه‌سطحی، ۵ آزمون، ۳۰ سؤال امتحانی با پاسخ‌نامه و کارنامه.
خرید بستهٔ فصل پنجم ←⬇ دانلود نمونهٔ رایگان (PDF، ۷ صفحه)یا همهٔ ۷ فصل را یکجا و با تخفیف بخرید ←هر جا که لازم داشتی، کنارت هستیم
خانواده‌های تحت پوشش نهادهای حمایتی، خانواده‌های قهرمانان ملی و مادران سرپرست خانوار از تخفیف ویژه بهره‌مند می‌شوند.
پرسش‌های متداول دربارهٔ صفحهٔ ۱۰۱ ریاضی ششم
صفحهٔ ۱۰۱ دربارهٔ تمرین مساحت دایره است: مساحت قسمت‌های رنگ‌شده را با جمع و تفریق پیدا می‌کنی، مساحت وسایل گرد خانه را حدس می‌زنی و می‌سنجی و مساحت کاغذ لازم برای ساختن یک استوانه را حساب می‌کنی.
اول حل قدم‌به‌قدم استوانه و حلقهٔ این صفحه را بخوان. بعد با راهنمایی‌ها، سؤال قسمت رنگی، وسایل گرد خانه و استوانهٔ کتاب را خودت حل کن.
استوانه را باز کن: یک مستطیل و دو دایره می‌شود. طول مستطیل برابر محیط دایره و عرضش برابر ارتفاع استوانه است. مثلاً برای شعاع ۳ و ارتفاع ۱۲ سانتی‌متر، مستطیل ۱۸٫۸۴ × ۱۲ = ۲۲۶٫۰۸ و دو دایره ۲۸٫۲۶ × ۲ = ۵۶٫۵۲ سانتی‌متر مربع است؛ روی هم ۲۲۶٫۰۸ + ۵۶٫۵۲ = ۲۸۲٫۶ سانتی‌متر مربع کاغذ لازم است.
مساحت دایرهٔ کوچک را از مساحت دایرهٔ بزرگ کم کن. مثلاً برای شعاع‌های ۷ و ۵ سانتی‌متر: ۱۵۳٫۸۶ − ۷۸٫۵ = ۷۵٫۳۶ سانتی‌متر مربع.
از بخش «کاربرگ و آزمون صفحه ۱۰۱ ریاضی ششم» در همین صفحه. کاربرگ سه‌سطحی این صفحه، آزمون درس «مساحت دایره» و آزمون پایانی فصل داخل بستهٔ کامل فصل پنجم است؛ همراه پاسخ‌نامه، کارنامه، چک‌لیست هدف‌ها و ارزشیابی توصیفی.
این آموزش را معلم کلاس نوشته است؛ معلم دبستان با ۱۲ سال تجربهٔ تدریس ریاضی. اگر جایی گیر کردی، در بخش دیدگاه‌ها بپرس.
پدر و مادر هستید؟ راهنمای والدین کلاس ششم