در این تمرین صفحه ۱۴۱ ریاضی ششم جواب آماده نمی‌گیری؛ یاد می‌گیری خودت حل کنی. اول سؤال احمد و محسن را قدم‌به‌قدم حل می‌کنیم: آن‌ها حاصل ضرب یک عدد را با دو تقریب به‌دست آورده‌اند و تو باید ببینی کدام به مقدار واقعی نزدیک‌تر است. بعد یاد می‌گیری در محاسبه‌های تقریبی کِی اول تقریب بزنی و کِی اول حساب کنی، و عبارت‌های چندعملی را حساب و گرد کنی. بقیهٔ سؤال‌ها را خودت حل می‌کنی؛ ما فقط راهنمایی می‌کنیم. آخر صفحه هم بستهٔ کاربرگ و آزمون فصل هفتم را معرفی کرده‌ایم تا مطمئن شوی درس را یاد گرفته‌ای.
ریاضی سخت نیست، فقط باید درست یاد گرفت.
دیدن دوره ←در آموزش صفحهٔ ۱۴۱ یاد می‌گیری
- حاصل ضرب را با قطع کردن و دو تقریب مختلف بنویسی و اختلافش را با مقدار واقعی حساب کنی.
- بدانی در قطع کردن، تقریب ریزتر (مثل «کمتر از ۱» به‌جای «کمتر از ۱۰») به مقدار واقعی نزدیک‌تر است.
- بفهمی اول تقریب زدن و اول حساب کردن می‌تواند جواب‌های متفاوتی بدهد و کدام را کجا انتخاب کنی.
- حاصل عبارتی را که پرانتز و تقسیم دارد حساب کنی و آن را گرد کنی.
- عدد اعشاری را به کسر یا کسر را به عدد اعشاری تبدیل کنی و راه ساده‌تر را انتخاب کنی.
آموزش صفحه ۱۴۱ ریاضی ششم: این صفحه دربارهٔ چیست؟
صفحهٔ ۱۴۱ ریاضی ششم دربارهٔ محاسبات تقریبی است: وقتی عددهای اعشاری را جمع، تفریق یا ضرب می‌کنیم، می‌توانیم اول هر عدد را تقریب بزنیم و بعد حساب کنیم، یا اول دقیق حساب کنیم و در آخر جواب را تقریب بزنیم. این دو راه ممکن است جواب‌های متفاوتی بدهند؛ در این صفحه یاد می‌گیری کدام را کجا به کار ببری.
این صفحه آخرین صفحهٔ درس «اندازه‌گیری و محاسبات تقریبی» از فصل هفتم ریاضی ششم است و بعد از صفحهٔ ۱۴۰ می‌آید که در آن ترتیب انجام عملیات را یاد گرفتی. در این صفحه حاصل ضرب دو عدد اعشاری را با دو تقریب مقایسه می‌کنی، عبارت‌های چندعملی را با قرارداد ترتیب عملیات حساب و بعد گرد می‌کنی، چند عبارت را با دو راه (اول تقریب یا اول محاسبه) به دست می‌آوری و برای حساب کردن، گاهی عدد اعشاری را به کسر یا کسر را به عدد اعشاری تبدیل می‌کنی. بعد از این صفحه مرور فصل می‌آید.
گام به گام صفحه ۱۴۱ ریاضی ششم: احمد و محسن، کدام نزدیک‌تر است؟
کتاب می‌گوید احمد و محسن هر دو حاصل ضرب ۱۱٫۲ × ۳۴٫۲ را با روش قطع کردن حساب کرده‌اند، ولی احمد با تقریب کمتر از ۱ و محسن با تقریب کمتر از ۱۰:
- احمد هر عدد را با تقریب کمتر از ۱ قطع می‌کند و می‌نویسد ۳۴ × ۱۱ = ۳۷۴
- محسن هر عدد را با تقریب کمتر از ۱۰ قطع می‌کند و می‌نویسد ۳۰ × ۱۰ = ۳۰۰
سؤال این است که کدام جواب به مقدار واقعی نزدیک‌تر است. این سؤال را کامل حل می‌کنیم. (کتاب عددهای اعشاری را با «/» می‌نویسد؛ ۱۱/۲ همان ۱۱٫۲ است.)
قدم ۱: مقدار واقعی را حساب کن
برای مقایسه باید بدانیم حاصل ضرب دقیق چقدر است. اول ممیزها را فراموش می‌کنیم و ۱۱۲ × ۳۴۲ را حساب می‌کنیم. عدد ۳۴۲ را به سه تکه می‌شکنیم، ۳۰۰ و ۴۰ و ۲، و ۱۱۲ را در هر تکه ضرب می‌کنیم:
- ۱۱۲ × ۳۰۰ = ۳۳٬۶۰۰
- ۱۱۲ × ۴۰ = ۴۴۸۰
- ۱۱۲ × ۲ = ۲۲۴
- جمع تکه‌ها: ۳۳٬۶۰۰ + ۴۴۸۰ + ۲۲۴ = ۳۸٬۳۰۴
هر کدام از ۱۱٫۲ و ۳۴٫۲ یک رقم اعشار دارد، پس حاصل ضرب دو رقم اعشار می‌گیرد: ۱۱٫۲ × ۳۴٫۲ = ۳۸۳٫۰۴. این مقدار واقعی است.
قدم ۲: فاصلهٔ هر جواب از مقدار واقعی
اختلاف با مقدار واقعی یعنی عدد بزرگ‌تر منهای عدد کوچک‌تر. هر دو جواب از ۳۸۳٫۰۴ کوچک‌ترند، چون در قطع کردن از هر عدد چیزی حذف می‌شود؛ پس آن‌ها را از مقدار واقعی کم می‌کنیم:
- احمد: ۳۸۳٫۰۴ − ۳۷۴ = ۹٫۰۴
- محسن: ۳۸۳٫۰۴ − ۳۰۰ = ۸۳٫۰۴
قدم ۳: مقایسه
اختلاف ۹٫۰۴ خیلی کمتر از ۸۳٫۰۴ است؛ پس جواب احمد به مقدار واقعی نزدیک‌تر است. نمودار هم همین را نشان می‌دهد.
چرا؟ احمد از هر عدد فقط رقم‌های بعد از یکان را انداخته، یعنی کمتر از ۱ کم کرده است؛ محسن رقم یکان را هم صفر کرده، یعنی از هر عدد کمتر از ۱۰ کم کرده است. قسمت حذف‌شده در ضرب هم شرکت می‌کند، پس هرچه بیشتر حذف شود، جواب از مقدار واقعی دورتر می‌شود. این همان نکته‌ای است که در صفحهٔ ۱۴۰ دیدی.
جواب سؤال
- مقدار واقعی: ۱۱٫۲ × ۳۴٫۲ = ۳۸۳٫۰۴
- اختلاف احمد: ۹٫۰۴؛ اختلاف محسن: ۸۳٫۰۴
- جواب احمد، که تقریب ریزتری (کمتر از ۱) گرفته، به مقدار واقعی نزدیک‌تر است.
نکتهٔ معلم
اشتباه رایج: جای ممیز را اشتباه می‌گذارند. تقریب خودت راه خوبی برای کنترل است: حاصل ضرب باید کمی از ۳۷۴ بیشتر باشد، چون در قطع کردن چیزی حذف شده؛ پس ۳۸٫۳۰۴ یا ۳۸۳۰٫۴ نمی‌تواند درست باشد. یادت باشد تعداد رقم‌های اعشارِ حاصل ضرب برابر مجموع رقم‌های اعشار دو عدد است: ۱ + ۱ = ۲.
سؤال‌های این صفحه گیجت کرد؟
دورهٔ خط‌به‌خط ریاضی ششم، هر صفحه را آن‌قدر ساده توضیح می‌دهد که به جواب آماده نیازی نداری.
دیدن دورهٔ ریاضی ششم ←اول تقریب بزنیم یا اول حساب کنیم؟
در محاسبه‌های تقریبی دو راه داریم: اول عددها را تقریب بزنیم و بعد حساب کنیم، یا اول دقیق حساب کنیم و در آخر جواب را تقریب بزنیم. با یک مثال ببین این دو راه چقدر فرق می‌کنند.
سه بستهٔ پستی به جرم ۶٫۸ و ۲٫۹ و ۳٫۷ کیلوگرم داریم. جرم همهٔ بسته‌ها را با تقریب کمتر از ۱ به روش قطع کردن می‌خواهیم. علامت ≈ را «تقریباً مساوی» می‌خوانیم.
- راه اول، اول تقریب: هر عدد را قطع می‌کنیم و جمع می‌بندیم: ۶ + ۲ + ۳ = ۱۱
- راه دوم، اول حساب: ۶٫۸ + ۲٫۹ + ۳٫۷ = ۱۳٫۴؛ بعد جواب را قطع می‌کنیم: ۱۳٫۴ ≈ ۱۳
- اختلاف هر راه با جمع دقیق: ۱۳٫۴ − ۱۱ = ۲٫۴ و ۱۳٫۴ − ۱۳ = ۰٫۴
راه اول ۱۱ داد که ۲٫۴ از جمع واقعی کمتر است؛ راه دوم ۱۳ داد که فقط ۰٫۴ کمتر است. چرا راه اول بدتر شد؟ چون هر سه عدد را جداگانه قطع کردیم و خطای هر عدد، که کمتر از ۱ است، در جمع روی هم جمع شد.
در این مثال با گرد کردن هم دو راه جواب یکسان نداده‌اند؛ برای هر عبارت دیگری باید هر دو راه را حساب کنی تا ببینی یکسان می‌شوند یا نه. تقریب همه با کمتر از ۱ است:
| روش تقریب | اول تقریب | اول حساب |
|---|---|---|
| قطع کردن | ۶ + ۲ + ۳ = ۱۱ | ۱۳٫۴ ≈ ۱۳ |
| گرد کردن | ۷ + ۳ + ۴ = ۱۴ | ۱۳٫۴ ≈ ۱۳ |
قاعدهٔ انتخاب
- اگر سؤال گفته چه ترتیبی را انجام بدهی، همان را انجام بده.
- اگر ترتیب را نگفته و جواب نهایی با تقریب مشخصی خواسته شده، معمولاً اول دقیق حساب کن و آخر تقریب بزن؛ چون تقریب زدن عددها پیش از حساب کردن خطا وارد محاسبه می‌کند.
- اگر فقط یک حدس سریع می‌خواهی (مثلاً می‌خواهی ببینی پولت برای خرید کافی است)، می‌توانی اول تقریب بزنی.
- اگر عددها اندازه‌گیری‌اند و ابزار فقط تا دقت معینی را نشان می‌دهد، با همان عددهای تقریبی حساب می‌کنی.
نکتهٔ معلم
اشتباه رایج: فکر می‌کنند اول تقریب زدن همیشه همان جواب را می‌دهد. ولی هر عدد تقریبی خطایی دارد و وقتی عددها را جمع می‌کنی، خطاها هم جمع می‌شوند؛ در ضرب هم چند برابر می‌شوند. برای سه عددی که جداگانه قطع کرده‌ایم، اختلاف همیشه کمتر از ۳ است، ولی می‌تواند به ۳ خیلی نزدیک شود.
اول حساب کن، بعد حاصل را گرد کن
یکی از سؤال‌های صفحه از تو می‌خواهد حاصل چند عبارت را به‌دست بیاوری و بعد آن را با تقریب کمتر از ۰٫۱ گرد کنی. روشش را با یک عبارت خودمان ببین: (۱۲٫۸ − ۲٫۵) ÷ ۷
- اول پرانتز: ۱۲٫۸ − ۲٫۵ = ۱۰٫۳
- بعد تقسیم تا دو رقم اعشار، مثل صفحهٔ ۱۳۵: خارج‌قسمت ۱٫۴۷ و باقی‌مانده ۰٫۰۱. امتحان: ۷ × ۱٫۴۷ = ۱۰٫۲۹ و بعد ۱۰٫۲۹ + ۰٫۰۱ = ۱۰٫۳
- گرد کردن: برای تقریب کمتر از ۰٫۱، رقم دهم رقم مورد تقریب است. رقم سمت راستش، یعنی رقم دوم اعشار، ۷ است (۵ یا بیشتر)؛ پس یک واحد به رقم دهم اضافه می‌کنیم و رقم‌های بعدی را حذف می‌کنیم: ۱٫۴۷ ≈ ۱٫۵
اگر تقسیم بدون باقی‌مانده تمام شود، همان خارج‌قسمت را گرد می‌کنی. ترتیب کار همیشه همین است: اول عبارت را با قرارداد ترتیب عملیات کامل حساب کن، بعد گرد کن.
عدد اعشاری یا کسر؟ هر کدام ساده‌تر است
کتاب می‌گوید در بعضی عبارت‌ها می‌توانی عدد اعشاری را به کسر یا کسر را به عدد اعشاری تبدیل کنی و باید تشخیص بدهی کدام مناسب‌تر است. سه مثال خودمان:
- ۰٫۴ × ۳۵: ۰٫۴ همان ۴/۱۰ یعنی ۲/۵ است. سی‌وپنج را ۵ قسمت می‌کنیم، هر قسمت ۷ می‌شود، و ۲ قسمتش را برمی‌داریم: ۲/۵ × ۳۵ = ۱۴
- ۷/۲۵ + ۰٫۵۱: اگر صورت و مخرج ۷/۲۵ را در ۴ ضرب کنیم، ۲۸/۱۰۰ یعنی ۰٫۲۸ می‌شود و جمع دو عدد اعشاری راحت است: ۰٫۲۸ + ۰٫۵۱ = ۰٫۷۹
- ۱/۳ × ۰٫۹: یک‌سوم را نمی‌شود دقیق اعشاری نوشت، چون ۰٫۳۳۳۳… است و رقم ۳ همین‌طور ادامه دارد. پس عدد اعشاری را کسر می‌کنیم: ۰٫۹ = ۹/۱۰ و بعد ۱/۳ × ۹/۱۰ = ۹/۳۰ = ۳/۱۰
قاعده
- کسری که مخرجش را بشود ۱۰ یا ۱۰۰ کرد (مثل مخرج‌های ۲، ۴، ۵، ۲۰ و ۲۵) را راحت به عدد اعشاری تبدیل می‌کنی.
- کسری که اعشارش تمام نمی‌شود (مثل یک‌سوم) را کسر نگه دار و عدد اعشاری را به کسر تبدیل کن.
تمرین صفحه ۱۴۱ ریاضی ششم: بقیهٔ سؤال‌ها را خودت حل کن
حالا نوبت توست. ما جواب نهایی را نمی‌گوییم؛ فقط هر جا لازم شد راهنمایی می‌کنیم.
حساب کردن عبارت‌ها با قرارداد ترتیب عملیات
راهنمایی (بدون جواب نهایی)
اول ببین هر عبارت پرانتز دارد یا نه. پرانتز را اول حساب کن، بعد ضرب و تقسیم را از چپ به راست و آخر جمع و تفریق را. در هر قدم فقط یک عمل انجام بده و عبارت تازه را زیر قبلی بنویس؛ قاعده را در صفحهٔ ۱۴۰ ببین. چون عددها اعشاری‌اند، ضرب و تقسیم را مثل فصل سوم انجام بده: تعداد رقم‌های اعشار حاصل ضرب برابر مجموع رقم‌های اعشار دو عدد است، و اگر مقسوم‌علیه اعشاری بود، مقسوم و مقسوم‌علیه را در یک عدد مناسب، مثل ۱۰، ضرب کن.
حساب کردن عبارت‌ها و گرد کردن حاصل
راهنمایی (بدون جواب نهایی)
اول هر عبارت را کامل و دقیق حساب کن، بعد حاصل را گرد کن. برای تقریب کمتر از ۰٫۱، رقم دهم رقم مورد تقریب است؛ سه مرحلهٔ گرد کردن را به یاد بیاور: رقم مورد تقریب را مشخص کن، اگر رقم سمت راستش ۵ یا بیشتر بود یک واحد به آن اضافه کن، و رقم‌های بعدی را حذف کن. اگر تقسیمی تمام نمی‌شود، خارج‌قسمت را تا دو رقم اعشار حساب کن و بعد گرد کن، مثل بخش «اول حساب کن، بعد حاصل را گرد کن». اگر عبارتی کسر دارد، پیش از ضرب کسرها را ساده کن.
عبارت جمع و تفریق به دو راه
راهنمایی (بدون جواب نهایی)
هر راه را جدا انجام بده. راه اول: هر عدد را جداگانه با تقریب کمتر از ۱ و به روش گرد کردن بنویس و بعد با هم جمع و تفریق کن. راه دوم: اول عبارت را دقیق حساب کن و بعد حاصل را با همان تقریب گرد کن. جواب دو راه را کنار هم بگذار و ببین یکی هستند یا نه. برای اینکه بفهمی کدام راه بهتر بود، اختلاف هر جواب را با جواب دقیق حساب کن.
انتخاب راه مناسب با قطع کردن
راهنمایی (بدون جواب نهایی)
برای هر عبارت هر دو راه، یعنی اول تقریب و اول محاسبه، را امتحان کن. هر بار از هر عدد فقط رقم‌های بعد از جایگاه تقریب را بینداز. بعد جواب هر راه را با مقدار دقیق عبارت مقایسه کن و راهی را انتخاب کن که برای آن عبارت مناسب‌تر است؛ دلیلت را هم بنویس، مثلاً به تعداد عددها یا نوع عددها نگاه کن. اختلاف یعنی عدد بزرگ‌تر منهای عدد کوچک‌تر. در بخش «اول تقریب بزنیم یا اول حساب کنیم؟» ببین خطاها چطور جمع می‌شوند.
تبدیل اعشاری به کسر و برعکس
راهنمایی (بدون جواب نهایی)
برای هر عبارت اول ببین عددهایش اعشاری‌اند یا کسری. بعد خودت تصمیم بگیر با کدام شکل حساب کردن ساده‌تر است: همه را اعشاری کنی یا همه را کسر. بخش «عدد اعشاری یا کسر؟» سه مثال دارد. اگر مخرج کسری را با ضرب نمی‌شود ۱۰ یا ۱۰۰ یا ۱۰۰۰ و مانند آن کرد (مثل یک‌سوم)، رقم‌های اعشارش تمام نمی‌شود و با اعشاری کردنش جواب دقیق نمی‌گیری. ترتیب عملیات را هم همچنان رعایت کن.
کسر یک‌سوم و عدد اعشاری نزدیک به آن
راهنمایی (بدون جواب نهایی)
کتاب می‌گوید یک‌سوم برابر عددی است که رقم ۳ در آن تمام نمی‌شود، و از تو می‌خواهد یک مقدار را با دو روش حساب کنی. هر دو روش را تا آخر انجام بده و جواب‌ها را رقم به رقم کنار هم بگذار؛ ببین از کدام رقم با هم فرق می‌کنند. بعد فکر کن در کدام روش یک عدد تقریبی وارد حساب شده و در کدام روش حساب دقیق بوده. پیشنهادت را بر همین اساس بنویس.
کاربرگ و آزمون صفحه ۱۴۱ ریاضی ششم
بعد از تمرین صفحه ۱۴۱ ریاضی ششم، با کاربرگ و آزمون مطمئن شو که درس را یاد گرفته‌ای. همهٔ سؤال‌ها تازه‌اند، نه کپی کتاب، و از آسان به دشوار چیده شده‌اند. کاربرگ صفحه ۱۴۱ ریاضی ششم داخل بستهٔ کامل فصل هفتم است؛ آزمون درس «اندازه‌گیری و محاسبات تقریبی» و آزمون فصل هم در همین بسته‌اند.
تمرین کافی، یادگیری را محکم می‌کند
بستهٔ کاربرگ و آزمون فصل هفتم ریاضی ششم: ۱۰ کاربرگ سه‌سطحی، ۳ آزمون، ۳۰ سؤال امتحانی با پاسخ‌نامه و کارنامه.
خرید بستهٔ فصل هفتم ←⬇ دانلود نمونهٔ رایگان (PDF، ۷ صفحه)یا همهٔ ۷ فصل را یکجا و با تخفیف بخرید ←یک قدم تا ریاضیِ بدون استرس
خانواده‌های تحت پوشش نهادهای حمایتی، خانواده‌های قهرمانان ملی و مادران سرپرست خانوار از تخفیف ویژه بهره‌مند می‌شوند.
پرسش‌های متداول دربارهٔ صفحهٔ ۱۴۱ ریاضی ششم
صفحهٔ ۱۴۱ دربارهٔ محاسبات تقریبی است: حاصل ضرب را با دو تقریب مختلف مقایسه می‌کنی، عبارت‌های چندعملی را با ترتیب عملیات حساب و گرد می‌کنی و یاد می‌گیری کِی اول تقریب بزنی و کِی اول حساب کنی.
اول حل قدم‌به‌قدم سؤال احمد و محسن را بخوان. بعد با بخش‌های «اول تقریب بزنیم یا اول حساب کنیم؟» و «اول حساب کن، بعد حاصل را گرد کن» و راهنمایی‌ها، بقیهٔ سؤال‌ها را خودت حل کن.
اگر سؤال ترتیب را گفته، همان را انجام بده. اگر نگفته و جواب نهایی با تقریب مشخصی خواسته شده، معمولاً اول دقیق حساب کن و آخر تقریب بزن، چون تقریب زدن عددها پیش از حساب کردن خطا وارد محاسبه می‌کند و خطاها روی هم جمع می‌شوند. برای یک حدس سریع می‌شود اول تقریب زد.
تقریب ریزتر. مثلاً قطع کردن هر عدد با تقریب کمتر از ۱ جوابی نزدیک‌تر از قطع کردن با تقریب کمتر از ۱۰ می‌دهد، چون قسمت کمتری از هر عدد حذف می‌شود و آن قسمت در ضرب هم شرکت می‌کند.
از بخش «کاربرگ و آزمون صفحه ۱۴۱ ریاضی ششم» در همین صفحه. کاربرگ سه‌سطحی این صفحه، آزمون درس «اندازه‌گیری و محاسبات تقریبی» و آزمون پایانی فصل داخل بستهٔ کامل فصل هفتم است؛ همراه پاسخ‌نامه، کارنامه، چک‌لیست هدف‌ها و ارزشیابی توصیفی.
این آموزش را معلم کلاس نوشته است؛ معلم دبستان با ۱۲ سال تجربهٔ تدریس ریاضی. اگر جایی گیر کردی، در بخش دیدگاه‌ها بپرس.
پدر و مادر هستید؟ راهنمای والدین کلاس ششم