در این تمرین صفحه ۱۱۱ ریاضی ششم جواب آماده نمی‌گیری؛ یاد می‌گیری خودت حل کنی. اول قدم‌به‌قدم می‌بینیم چطور نسبت‌های مساوی با یک نسبت می‌سازیم و آن‌ها را در یک جدول تناسب می‌چینیم. بعد یاد می‌گیری از کجا بفهمی دو مقدار با هم متناسب‌اند یا نه، و سؤال‌های کتاب را با راهنمایی‌های ما خودت حل می‌کنی. آخر صفحه هم بستهٔ کاربرگ و آزمون فصل ششم را معرفی کرده‌ایم تا مطمئن شوی درس را یاد گرفته‌ای.
ریاضی سخت نیست، فقط باید درست یاد گرفت.
دیدن دوره ←در آموزش صفحهٔ ۱۱۱ یاد می‌گیری
- چند نسبت مساوی با یک نسبت بسازی.
- یک جدول تناسب بسازی و بخوانی.
- بفهمی دو مقدار چه وقت متناسب هستند.
- با نسبت هر ستون یا با ضرب در یک عدد، متناسب بودن یک جدول را آزمایش کنی.
- برای متناسب بودن (یا نبودن) دو مقدار دلیل بنویسی.
آموزش صفحه ۱۱۱ ریاضی ششم: این صفحه دربارهٔ چیست؟
صفحهٔ ۱۱۱ ریاضی ششم دربارهٔ تناسب است: دو مقدار «متناسب»اند وقتی نسبت‌شان همیشه یکی بماند؛ یعنی با ۲ برابر یا ۳ برابر شدن یکی، دیگری هم ۲ برابر یا ۳ برابر شود. جدولی که این تناسب را نشان می‌دهد «جدول تناسب» نام دارد.
این صفحه ادامهٔ صفحهٔ ۱۱۰ از درس «کسر، نسبت و تناسب» در فصل ششم ریاضی ششم است. در آن محیط و مساحت مربع، جمله‌های دلیل‌دار، نسبت‌های مساوی با یک نسبت و تشخیص جدول تناسب را کار می‌کنی؛ بعد در صفحهٔ ۱۱۲ نسبت‌های مساوی را در مسئله‌ها به کار می‌بری.
گام به گام صفحه ۱۱۱ ریاضی ششم: نسبت‌های مساوی با ۱۶ به ۲۰
کتاب می‌خواهد چند نسبت مساوی با «۱۶ به ۲۰» بنویسی و یک جدول تناسب بسازی. این سؤال را کامل حل می‌کنیم؛ چون هم روش ساختن نسبت‌های مساوی را یاد می‌گیری، هم می‌بینی جدول تناسب چیست.
قدم ۱: نسبت را ساده کن
هر دو عدد ۱۶ و ۲۰ را بر ۴ تقسیم کن: ۱۶ ÷ ۴ = ۴ و ۲۰ ÷ ۴ = ۵. پس «۱۶ به ۲۰» همان «۴ به ۵» است. این ساده‌ترین شکل است، چون هیچ عددی جز ۱ هر دو عدد ۴ و ۵ را بدون باقی‌مانده تقسیم نمی‌کند.
قدم ۲: نسبت‌های مساوی بساز
هر دو عدد را در یک عدد ضرب کن. از «۴ به ۵» شروع می‌کنیم:
- ضرب در ۲: ۴ × ۲ = ۸ و ۵ × ۲ = ۱۰؛ پس «۸ به ۱۰».
- باز ضرب در ۲: ۸ × ۲ = ۱۶ و ۱۰ × ۲ = ۲۰؛ به همان «۱۶ به ۲۰» رسیدیم.
- این بار «۱۶ به ۲۰» را در ۳ ضرب کن: ۱۶ × ۳ = ۴۸ و ۲۰ × ۳ = ۶۰؛ پس «۴۸ به ۶۰».
قدم ۳: جدول تناسب بساز
ستون‌ها را از راست به چپ کنار هم بچین: «۴ و ۵»، «۸ و ۱۰»، «۱۶ و ۲۰» (نسبت خود سؤال) و «۴۸ و ۶۰». عدد بالا را در ردیف بالا و عدد پایین را در ردیف پایین بنویس. از هر ستون به ستون کناری‌اش، هر دو ردیف در یک عدد ضرب شده‌اند.
قدم ۴: خانه‌های جدول کتاب را پر کن
در جدول کتاب، غیر از ۱۶ و ۲۰، ستون «۱۲ و ۱۵» هم نوشته شده و در ردیف پایینِ یک ستون عدد ۴۰۰ آمده است. ستون «۱۲ و ۱۵» یک نسبت مساوی آماده است: ۱۲ ÷ ۳ = ۴ و ۱۵ ÷ ۳ = ۵؛ یعنی باز هم «۴ به ۵». برای ستونی که پایینش ۴۰۰ است، اول ببین ۲۰ در چه عددی ضرب شده تا ۴۰۰ شود: ۴۰۰ ÷ ۲۰ = ۲۰. عدد بالا را هم در همین ۲۰ ضرب کن: ۱۶ × ۲۰ = ۳۲۰. پس آن ستون «۳۲۰ و ۴۰۰» است. اگر ستون خالی دیگری هم هست، با نسبت‌هایی که در قدم ۲ ساختی پرش کن.
قدم ۵: امتحان کن
در هر ستون نسبت را به شکل کسر بنویس و ساده کن: ۱۶/۲۰ = ۴/۵، ۸/۱۰ = ۴/۵، ۴۸/۶۰ = ۴/۵ و ۳۲۰/۴۰۰ = ۴/۵. همه برابرند و اعشاری‌شان ۴ ÷ ۵ = ۰٫۸ است. کتاب اعشار را با «/» می‌نویسد؛ یعنی ۰/۸ همان ۰٫۸ است. چون همهٔ ستون‌ها نسبتی مساوی دارند، این جدول یک جدول تناسب است.
جواب (یک جواب درست)
- نسبت‌های مساوی با ۱۶ به ۲۰: ۴ به ۵، ۸ به ۱۰، ۱۲ به ۱۵، ۴۸ به ۶۰ و ۳۲۰ به ۴۰۰؛ همه برابر ۴/۵ یا ۰٫۸ هستند.
- در جدول کتاب، بالای ۴۰۰ عدد ۳۲۰ می‌آید، چون ۴۰۰ ÷ ۲۰ = ۲۰ و ۱۶ × ۲۰ = ۳۲۰.
- جدول تناسب: ستون‌های «۴ و ۵»، «۸ و ۱۰»، «۱۶ و ۲۰» و «۴۸ و ۶۰».
- هر نسبت دیگری که با ضرب یا تقسیم هر دو عدد در یک عدد ساخته شود هم درست است.
نکتهٔ معلم
اشتباه رایج: فقط یکی از دو عدد را بر ۴ تقسیم می‌کنند و «۴ به ۲۰» می‌نویسند. ولی ۴/۲۰ = ۱/۵ و ۱۶/۲۰ = ۴/۵ برابر نیستند. هر دو عدد باید در یک عدد ضرب یا بر یک عدد تقسیم شوند.
این صفحه را کامل متوجه نشدی؟
در دورهٔ ویدیویی، همین صفحه را خط‌به‌خط و با مثال‌های کلاسی یاد می‌گیری.
دیدن دورهٔ ریاضی ششم ←چه وقت دو مقدار متناسب‌اند؟
دو مقدار متناسب هستند وقتی با ۲ برابر شدن یکی، دیگری هم ۲ برابر شود؛ با ۳ برابر شدن یکی، دیگری هم ۳ برابر شود؛ و همین‌طور ادامه. نتیجه این است که نسبت آن‌ها در همهٔ ستون‌های جدول یکی می‌ماند. آزمونش سه قدم دارد:
- اول: دو مقدار را در یک جدول دو ردیفه بنویس؛ هر حالت در یک ستون.
- دوم: در هر ستون نسبت دو عدد را به شکل کسر بنویس و ساده کن.
- سوم: اگر همهٔ کسرها برابر شدند، دو مقدار متناسب‌اند و جدول، جدول تناسب است. اگر حتی دو ستون فرق داشت، متناسب نیستند.
مثال ۱: خواندن ۱۱ صفحه در هر روز
نگار هر روز ۱۱ صفحه از کتابش می‌خواند. جدول روزها و صفحه‌ها این است (اینجا هر حالت در یک ردیف آمده):
| تعداد روز | تعداد صفحه | نسبت |
|---|---|---|
| ۱ | ۱۱ | ۱/۱۱ |
| ۲ | ۲۲ | ۲/۲۲ = ۱/۱۱ |
| ۳ | ۳۳ | ۳/۳۳ = ۱/۱۱ |
| ۵ | ۵۵ | ۵/۵۵ = ۱/۱۱ |
نسبت در همهٔ حالت‌ها ۱/۱۱ شد؛ پس تعداد صفحه‌ها با تعداد روزها متناسب است.
مثال ۲: سن کیان و سن خواهرش
کیان ۳ سال از خواهرش کوچک‌تر است. وقتی کیان ۴ ساله است خواهرش ۷ ساله است، و هر سال هر دو یک سال بزرگ‌تر می‌شوند:
| سن کیان | سن خواهر | نسبت |
|---|---|---|
| ۴ | ۷ | ۴/۷ |
| ۸ | ۱۱ | ۸/۱۱ |
| ۱۲ | ۱۵ | ۱۲/۱۵ = ۴/۵ |
این کسرها یکی نیستند؛ پس سن کیان و سن خواهرش متناسب نیست.
راه دوم: ضرب در یک عدد
راه دیگر این است که ببینی از یک ستون به ستون دیگر، هر دو ردیف در یک عدد ضرب شده‌اند یا نه. در مثال نگار، از روز ۱ به روز ۳ هر دو ردیف در ۳ ضرب شده‌اند: ۱ × ۳ = ۳ و ۱۱ × ۳ = ۳۳. در مثال کیان، سن او از ۴ به ۸ می‌رسد و در ۲ ضرب می‌شود، ولی ۷ × ۲ = ۱۴ است و سن خواهرش ۱۱ شده؛ پس ردیف پایین در ۲ ضرب نشده است.
نکتهٔ معلم
اشتباه رایج: فکر می‌کنند اگر با بزرگ‌تر شدن یکی، دیگری هم بزرگ‌تر شود، حتماً متناسب‌اند. ولی سن کیان و سن خواهرش هر دو زیاد می‌شوند و متناسب نیستند. باید ببینی به همان نسبت زیاد می‌شوند یا نه.
تمرین صفحه ۱۱۱ ریاضی ششم: سؤال‌های کتاب را خودت حل کن
حالا نوبت توست. نسبت‌های مساوی با ۱۶ به ۲۰ را بالا کامل حل کردیم؛ برای بقیه ما جواب نهایی را نمی‌گوییم و فقط هر جا لازم شد راهنمایی می‌کنیم. جدول‌های مربع ادامهٔ شمارهٔ ۳ صفحهٔ ۱۱۰ هستند.
شمارهٔ ۳ (ب تا ث): جدول ضلع، محیط و مساحت مربع
راهنمایی (بدون جواب نهایی)
هر ستون جدول یک مربع است. محیط مربع چهار برابر ضلع آن است و مساحت مربع، ضلع در ضلع. ستون‌های هر جدول را با همین دو قاعده کامل کن. بعد مثل آزمونی که بالا دیدی، زیر هر ستون نسبت طول ضلع به محیط را به شکل کسر بنویس و ساده کن؛ همین کار را برای نسبت طول ضلع به مساحت انجام بده. اگر ضلعی اعشاری بود، ضرب اعشاری فصل سوم را به کار ببر. کسرهای هر جدول را با هم مقایسه کن و ببین هر جدول، جدول تناسب است یا نه؛ نتیجه را مثل کتاب با یک جمله بنویس.
شمارهٔ ۴: جمله‌ها را با ذکر دلیل کامل کن
راهنمایی (بدون جواب نهایی)
هر جمله دو مقدار دارد. برای هر جمله جدولی با دو سه حالت بنویس و آزمون تناسب را انجام بده. دلیلت از همین آزمون بیاید: نسبت آن دو در همهٔ حالت‌ها یکی است یا نیست؛ یا وقتی یکی چند برابر می‌شود، دیگری هم به همان اندازه برابر می‌شود یا نمی‌شود. برای تعداد دوچرخه‌ها و چرخ‌هایشان، چرخ‌های یک دوچرخه را بشمار و برای ۲، ۳ و ۵ دوچرخه جدول بنویس. برای تعداد خانه‌ها و افراد، دو خانهٔ دلخواه را با تعداد افرادشان مثال بزن و نسبت‌ها را مقایسه کن. نمونهٔ کتاب (قد برحسب سانتی‌متر و قد برحسب متر) را هم با همین روش بررسی کن و ببین دلیلش با روش تو می‌خواند.
شمارهٔ ۶: کدام جدول، جدول تناسب است؟
راهنمایی (بدون جواب نهایی)
هر جدول را جدا بررسی کن. نسبت هر ستون را به شکل کسر بنویس و ساده کن، یا ببین از هر ستون به ستون بعدی هر دو ردیف در یک عدد ضرب شده‌اند یا نه (اگر عدد ضرب اعشاری یا کسری شد، همان را به کار ببر). فقط یک ستون ناجور کافی است تا جدولی، جدول تناسب نباشد؛ ولی برای تناسب بودن باید همهٔ ستون‌ها را بررسی کنی. کسرها را اگر لازم شد با اعشاری مقایسه کن.
خیالتان از ریاضی راحت باشد
مربیگری آموزشی: برنامهٔ اختصاصی و گزارش هفتگی به خانواده.
آشنایی با مربیگری ←تناسب در یک نگاه
- دو مقدار متناسب‌اند وقتی نسبت‌شان همیشه یکی بماند.
- در جدول تناسب، از هر ستون به ستون دیگر هر دو ردیف در یک عدد ضرب یا بر یک عدد تقسیم می‌شوند.
- آزمون تناسب: نسبت هر ستون را به شکل کسر بنویس و ساده کن؛ اگر همه برابر بودند، متناسب‌اند.
- اگر هر دو مقدار زیاد شوند، لزوماً متناسب نیستند؛ باید به همان نسبت زیاد شوند.
- ادامهٔ درس، یعنی کاربرد نسبت‌های مساوی در مسئله‌ها، در صفحهٔ ۱۱۲ است.
کاربرگ و آزمون صفحه ۱۱۱ ریاضی ششم
درس را یاد گرفتی؟ با کاربرگ و آزمون مطمئن شو. همهٔ سؤال‌ها تازه‌اند، نه کپی کتاب، و از آسان به دشوار چیده شده‌اند. کاربرگ صفحه ۱۱۱ ریاضی ششم داخل بستهٔ کامل فصل ششم است؛ آزمون درس «کسر، نسبت و تناسب» و آزمون فصل هم در همین بسته‌اند.
تمرین کافی، یادگیری را محکم می‌کند
بستهٔ کاربرگ و آزمون فصل ششم ریاضی ششم: ۱۸ کاربرگ سه‌سطحی، ۵ آزمون، ۳۰ سؤال امتحانی با پاسخ‌نامه و کارنامه.
خرید بستهٔ فصل ششم ←⬇ دانلود نمونهٔ رایگان (PDF، ۷ صفحه)یا همهٔ ۷ فصل را یکجا و با تخفیف بخرید ←یک قدم تا ریاضیِ بدون استرس
خانواده‌های تحت پوشش نهادهای حمایتی، خانواده‌های قهرمانان ملی و مادران سرپرست خانوار از تخفیف ویژه بهره‌مند می‌شوند.
پرسش‌های متداول دربارهٔ صفحهٔ ۱۱۱ ریاضی ششم
صفحهٔ ۱۱۱ دربارهٔ تناسب است: ساختن نسبت‌های مساوی، جدول تناسب، آزمایش اینکه دو مقدار با هم متناسب‌اند یا نه (مثل ضلع مربع با محیط و مساحتش) و نوشتن دلیل برای متناسب بودن.
اول حل قدم‌به‌قدم نسبت‌های مساوی با ۱۶ به ۲۰ و ساختن جدول تناسب را بخوان. بعد آزمون تناسب را یاد بگیر و سؤال‌های کتاب را با راهنمایی‌های این صفحه خودت حل کن.
جدول تناسب جدولی دوردیفه است که ستون‌هایش نسبت‌های مساوی‌اند؛ یعنی از هر ستون به ستون دیگر هر دو ردیف در یک عدد ضرب یا بر یک عدد تقسیم می‌شوند. مثلاً ستون‌های «۴ و ۵»، «۸ و ۱۰» و «۱۶ و ۲۰» همه نسبت ۴/۵ دارند.
نسبت دو مقدار را در چند حالت به شکل کسر می‌نویسیم و ساده می‌کنیم؛ اگر همهٔ کسرها برابر شدند، متناسب‌اند. مثلاً اگر کسی هر روز ۱۱ صفحه کتاب بخواند، نسبت تعداد روز به تعداد صفحه همیشه ۱/۱۱ می‌ماند و این دو مقدار متناسب‌اند؛ ولی اگر کیان ۴ ساله و خواهرش ۷ ساله باشد، ۴ سال بعد نسبت سن‌هایشان از ۴/۷ به ۸/۱۱ می‌رسد، پس سن آن دو متناسب نیست.
از بخش «کاربرگ و آزمون صفحه ۱۱۱ ریاضی ششم» در همین صفحه. کاربرگ سه‌سطحی این صفحه، آزمون درس «کسر، نسبت و تناسب» و آزمون پایانی فصل داخل بستهٔ کامل فصل ششم است؛ همراه پاسخ‌نامه، کارنامه، چک‌لیست هدف‌ها و ارزشیابی توصیفی.
این آموزش را معلم کلاس نوشته است؛ معلم دبستان با ۱۲ سال تجربهٔ تدریس ریاضی. اگر جایی گیر کردی، در بخش دیدگاه‌ها بپرس.
پدر و مادر هستید؟ راهنمای والدین کلاس ششم